PERTEMUAN 12 ANALISIS KOMPLEKS (LINTASAN KURVA JORDAN)

  

📢 Materi 12: Lintasan Kurva Jordan 📢

Halo Mahasiswa hebat! 👋✨

Di materi ke dua belas, kita akan belajar tentang Lintasan Kurva Jordan. Pastinya, kalian sudah pernah mendapatkan materi ini di pelajaran sebelumnya, jadi ini saatnya untuk memperdalam pemahaman kalian! 📚💡 Caranya:

✅ Tonton video YouTube di bawah ini karena di dalamnya terdapat penjelasan lengkap tentang materi. 🎥👀

✅ Download bahan ajar dalam format PDF yang tersedia di deskripsi video. 📄⬇️

TONTON VIDEO PERTEMUAN 12 DI SINI !

✅ Kerjakan latihan soal yang berada pada bahan ajar yang sudah di download untuk mengasah pemahaman kalian. ✍️

✅ Kumpulkan tugas harian kalian dalam format PDF atau tulis tangan juga bisa kemudian  di Scan PDF dan unggah ke link yang tersedia di bawah ini. 📤📎 dengan keterangan NAMA_TUGAS HARIAN PERTEMUAN 12 (UNTUK KEHADIRAN)

KUMPULKAN TUGAS HARIAN PERTEMUAN 12 UNTUK KEHADIRAN DI SINI !

📌 Jangan lupa! Pastikan semua tugas dikumpulkan tepat waktu. Semangat belajar dan tetap berusaha yang terbaik! 🚀🔥

Tugas Pertemuan ke TIGA BELAS masing-masing kerjakan dalam bentuk PPT Canva atau PPT Biasa (PDF) ya 💪📖 ! dan akan di tagih pada pertemuan yang akan datang sebagai tugas individu

TUGAS PERTEMUAN KE TIGA BELAS BERJUDUL "KONTRU DI BIDANG KOMPLEKS"

KUMPULKAN TUGAS KE 12 TENTANG KONTRU DI BIDANG KOMPLEKS DI SINI  !

PINTASAN !

KONTRAK BELAJAR ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 1 ANALISIS KOMPLEKS (Bilangan Kompleks) 

PERTEMUAN 2 ANALISIS KOMPELKS (Geometri Bilangan Kompleks)

PERTEMUAN 3 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 4 ANALSIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 5 ANALISI KOMPLEKS 

PERTEMUAN 6 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 7 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 8 ANALISIS KOMPLEKS (UJIAN TENGAH SEMESTER)

PERTEMUAN 9 ANALSISI KOMPLEKS 

PERTEMUAN 10 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 11 ANALISIS KOMPLEKS  

PERTEMUAN 12 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 13 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 14 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 15 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 16 ANALISIS KOMPLEKS (UJIAN AKHIR SEMESTER)

Ada juga RPS Mata Kuliah Analisis Kompleks

RPS ANALISIS KOMPLEKS

Lintasan Kurva Jordan adalah konsep penting dalam analisis kompleks dan geometri yang mengacu pada jenis khusus dari kurva tertutup di bidang kompleks. Secara definisi, sebuah Kurva Jordan adalah sebuah kurva tertutup sederhana, artinya kurva tersebut tidak berpotongan sendiri dan membentuk sebuah lingkaran tertutup tanpa adanya perpotongan atau irisan di antara jalurnya sendiri. Dalam istilah yang lebih formal, kurva Jordan adalah citra kontinu dari interval $[0,1]$ ke bidang kompleks yang memenuhi syarat bahwa titik awal dan titik akhir kurva adalah sama, sementara titik-titik lain pada kurva tersebut tidak pernah berulang, sehingga menciptakan jalur tertutup yang tidak berbelit.

Pentingnya lintasan kurva Jordan dalam analisis kompleks muncul dari sifat-sifat topologis dan analitik yang melekat padanya. Kurva ini membagi bidang kompleks menjadi dua bagian yang terpisah dan saling eksklusif, yaitu bagian dalam (interior) yang berbatasan dengan kurva tersebut dan bagian luar (eksterior) yang merupakan komplemen dari bagian dalam ditambah kurva itu sendiri. Hal ini dikenal sebagai Teorema Jordan, yang menyatakan bahwa setiap kurva Jordan membagi bidang menjadi dua wilayah yang terpisah secara topologis — satu yang terbatas di dalam kurva dan satu yang tak terbatas di luar kurva.

Dalam konteks integral kompleks, lintasan kurva Jordan sangat bermanfaat karena memungkinkan penerapan teorema integral seperti Teorema Cauchy dan Teorema Residue, di mana integral fungsi analitik di sepanjang lintasan kurva Jordan tertutup dapat dievaluasi secara efektif, terutama ketika kurva mengelilingi titik singularitas dari fungsi tersebut. Kurva Jordan menyediakan kerangka kerja yang jelas dan terstruktur untuk menentukan wilayah integrasi dan memastikan bahwa penghitungan integral tidak terpengaruh oleh irisan atau pengulangan jalur.

Selain itu, lintasan kurva Jordan juga memiliki aplikasi penting dalam pemetaan konformal, di mana fungsi-fungsi kompleks dapat dipelajari dengan mengamati bagaimana mereka memetakan kurva Jordan ke dalam kurva lain di bidang kompleks. Pemahaman yang mendalam tentang lintasan kurva Jordan membantu dalam menganalisis sifat fungsi kompleks, struktur domain, dan perilaku integral jalur, sehingga menjadi konsep esensial bagi mahasiswa dan praktisi yang ingin menguasai analisis kompleks secara menyeluruh.

Read more ...

PERTEMUAN 11 ANALISIS KOMPLEKS (FUNGSI LOGARITMA)

 

📢 Materi 11: Fungsi Logaritma 📢

Halo Mahasiswa hebat! 👋✨

Di materi ke sebelas, kita akan belajar tentang Fungsi Logaritma. Pastinya, kalian sudah pernah mendapatkan materi ini di pelajaran sebelumnya, jadi ini saatnya untuk memperdalam pemahaman kalian! 📚💡 Caranya:

✅ Tonton video YouTube di bawah ini karena di dalamnya terdapat penjelasan lengkap tentang materi. 🎥👀

✅ Download bahan ajar dalam format PDF yang tersedia di deskripsi video. 📄⬇️

TONTON VIDEO PERTEMUAN 11 DI SINI !

✅ Kerjakan latihan soal yang berada pada bahan ajar yang sudah di download untuk mengasah pemahaman kalian. ✍️

✅ Kumpulkan tugas harian kalian dalam format PDF atau tulis tangan juga bisa kemudian  di Scan PDF dan unggah ke link yang tersedia di bawah ini. 📤📎 dengan keterangan NAMA_TUGAS HARIAN PERTEMUAN 11 (UNTUK KEHADIRAN)

KUMPULKAN TUGAS HARIAN PERTEMUAN 11 UNTUK KEHADIRAN DI SINI !

📌 Jangan lupa! Pastikan semua tugas dikumpulkan tepat waktu. Semangat belajar dan tetap berusaha yang terbaik! 🚀🔥

Tugas Pertemuan ke DUA BELAS masing-masing kerjakan dalam bentuk PPT Canva atau PPT Biasa (PDF) ya 💪📖 ! dan akan di tagih pada pertemuan yang akan datang sebagai tugas individu

TUGAS PERTEMUAN KE DUA BELAS BERJUDUL "LINTASAN KURVA JORDAN"

KUMPULKAN TUGAS KE 12 LINTASAN KURVA JORDAN DI SINI  !

PINTASAN !

KONTRAK BELAJAR ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 1 ANALISIS KOMPLEKS (Bilangan Kompleks) 

PERTEMUAN 2 ANALISIS KOMPELKS (Geometri Bilangan Kompleks)

PERTEMUAN 3 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 4 ANALSIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 5 ANALISI KOMPLEKS 

PERTEMUAN 6 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 7 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 8 ANALISIS KOMPLEKS (UJIAN TENGAH SEMESTER)

PERTEMUAN 9 ANALSISI KOMPLEKS 

PERTEMUAN 10 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 11 ANALISIS KOMPLEKS  

PERTEMUAN 12 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 13 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 14 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 15 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 16 ANALISIS KOMPLEKS (UJIAN AKHIR SEMESTER)

Ada juga RPS Mata Kuliah Analisis Kompleks

RPS ANALISIS KOMPLEKS

Fungsi logaritma dalam analisis kompleks merupakan perluasan konsep logaritma yang biasa kita kenal di bilangan real ke bidang bilangan kompleks. Dalam bilangan real, fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponensial, yaitu jika $y = \log_a x$, maka $a^y = x$. Namun, ketika kita beralih ke bidang kompleks, definisi ini menjadi lebih rumit karena sifat periodik dari fungsi eksponensial kompleks dan keberadaan banyak nilai untuk fungsi logaritma kompleks, yang disebut sebagai multi-valued function (fungsi bernilai banyak).

Secara matematis, fungsi logaritma kompleks didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponensial kompleks $e^z$, sehingga untuk $z = x + iy$ (dengan $x,y \in \mathbb{R}$) dan $w = u + iv$, berlaku $e^w = z$ jika dan hanya jika $w = \log z$. Bentuk umum fungsi logaritma kompleks ditulis sebagai:

$$\log z = \ln|z| + i \arg(z) + 2k\pi i, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Di sini, $\ln|z|$ adalah logaritma natural dari modulus $z$, dan $\arg(z)$ adalah argumen (sudut) dari bilangan kompleks $z$ yang biasanya diambil dalam interval $(-\pi, \pi]$ atau $[0, 2\pi)$, namun karena sifat sudut ini dapat bertambah kelipatan $2\pi$, fungsi logaritma kompleks memiliki banyak nilai yang berbeda bergantung pada pilihan cabang (branch) dari argumen tersebut.

Karena fungsi logaritma kompleks merupakan fungsi multivalued, untuk mengatasi masalah ini sering diperkenalkan konsep cabang utama logaritma (principal branch) yang membatasi argumen ke suatu interval tertentu, misalnya $(-\pi, \pi]$, sehingga logaritma menjadi fungsi tunggal (single-valued) pada domain yang sudah dipotong (cut) dari bidang kompleks, biasanya dengan membuang garis negatif real dari bidang kompleks, yang disebut branch cut.

Fungsi logaritma kompleks memiliki peranan sangat penting dalam analisis kompleks, terutama dalam pemecahan masalah integral jalur, pemetaan konformal, dan dalam teori fungsi analitik. Fungsi ini juga sering muncul dalam penyelesaian persamaan diferensial kompleks dan dalam berbagai aplikasi fisika serta teknik. Memahami sifat-sifat fungsi logaritma kompleks, termasuk sifat multivalued-nya dan cara menentukan cabang-cabangnya, sangat krusial bagi mahasiswa yang mendalami analisis kompleks agar dapat mengaplikasikan konsep ini dengan benar dalam berbagai konteks matematika dan ilmu terapan.

Read more ...

PERTEMUAN 10 ANALISIS KOMPLEKS (FUNGSI HIPERBOLIK)

    

📢 Materi 10: Fungsi Hiperbolik 📢

Halo Mahasiswa hebat! 👋✨

Di materi ke sepuluh, kita akan belajar tentang Fungsi Hiperbolik. Pastinya, kalian sudah pernah mendapatkan materi ini di pelajaran sebelumnya, jadi ini saatnya untuk memperdalam pemahaman kalian! 📚💡 Caranya:

✅ Tonton video YouTube di bawah ini karena di dalamnya terdapat penjelasan lengkap tentang materi. 🎥👀

✅ Download bahan ajar dalam format PDF yang tersedia di deskripsi video. 📄⬇️

TONTON VIDEO PERTEMUAN 10 DI SINI !

✅ Kerjakan latihan soal yang berada pada bahan ajar yang sudah di download untuk mengasah pemahaman kalian. ✍️

✅ Kumpulkan tugas harian kalian dalam format PDF atau tulis tangan juga bisa kemudian  di Scan PDF dan unggah ke link yang tersedia di bawah ini. 📤📎 dengan keterangan NAMA_TUGAS HARIAN PERTEMUAN 10 (UNTUK KEHADIRAN)

KUMPULKAN TUGAS HARIAN PERTEMUAN 10 UNTUK KEHADIRAN DI SINI !

📌 Jangan lupa! Pastikan semua tugas dikumpulkan tepat waktu. Semangat belajar dan tetap berusaha yang terbaik! 🚀🔥

Tugas Pertemuan ke SEBELAS masing-masing kerjakan dalam bentuk PPT Canva atau PPT Biasa (PDF) ya 💪📖 ! dan akan di tagih pada pertemuan yang akan datang sebagai tugas individu

TUGAS PERTEMUAN KE SEBELAS BERJUDUL "FUNGSI LOGARITMA"

KUMPULKAN TUGAS KE 11 TENTANG FUNGSI LOGARITMA DI SINI  !

PINTASAN !

KONTRAK BELAJAR ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 1 ANALISIS KOMPLEKS (Bilangan Kompleks) 

PERTEMUAN 2 ANALISIS KOMPELKS (Geometri Bilangan Kompleks)

PERTEMUAN 3 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 4 ANALSIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 5 ANALISI KOMPLEKS 

PERTEMUAN 6 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 7 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 8 ANALISIS KOMPLEKS (UJIAN TENGAH SEMESTER)

PERTEMUAN 9 ANALSISI KOMPLEKS 

PERTEMUAN 10 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 11 ANALISIS KOMPLEKS  

PERTEMUAN 12 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 13 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 14 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 15 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 16 ANALISIS KOMPLEKS (UJIAN AKHIR SEMESTER)

Ada juga RPS Mata Kuliah Analisis Kompleks

RPS ANALISIS KOMPLEKS

Fungsi hiperbolik adalah fungsi matematika yang memiliki peranan penting baik dalam analisis matematika maupun dalam berbagai aplikasi fisika dan teknik. Fungsi ini merupakan analog dari fungsi trigonometri, namun berhubungan dengan hiperbola, bukan lingkaran. Fungsi-fungsi hiperbolik utama adalah sinh (sinus hiperbolik), cosh (cosinus hiperbolik), dan tanh (tangen hiperbolik), yang didefinisikan melalui kombinasi fungsi eksponensial. Secara formal, fungsi-fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai berikut:

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

Fungsi-fungsi ini memiliki sifat-sifat yang mirip dengan fungsi trigonometri, seperti identitas dan hubungan diferensial, tetapi juga memiliki karakteristik unik karena hubungannya dengan kurva hiperbola. Misalnya, identitas penting yang menghubungkan fungsi hiperbolik adalah:

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$$

yang merupakan analog dari identitas trigonometri $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.

Dalam analisis kompleks, fungsi hiperbolik dapat diperluas menjadi fungsi kompleks dengan mengganti variabel real dengan variabel kompleks. Hal ini memungkinkan fungsi-fungsi hiperbolik menjadi sangat berguna dalam pemodelan berbagai fenomena fisika, seperti getaran, gelombang, dan sistem termodinamika. Fungsi hiperbolik juga sering digunakan dalam teori medan, relativitas khusus, dan dalam solusi persamaan diferensial parsial.

Selain itu, fungsi hiperbolik memiliki peran dalam transformasi konformal dan pemetaan di bidang kompleks. Misalnya, fungsi $\sinh z$ dan $\cosh z$ memetakan garis lurus dan kurva tertentu ke bentuk-bentuk lain yang berguna dalam analisis matematis dan aplikasi teknik.

Karena sifatnya yang sangat dekat dengan fungsi eksponensial dan hubungan matematis yang kaya, fungsi hiperbolik menjadi topik yang esensial dalam studi matematika tingkat lanjut, termasuk dalam kursus analisis kompleks dan teori fungsi analitik. Memahami fungsi hiperbolik secara mendalam membantu mahasiswa dalam menjelajahi konsep-konsep matematika yang lebih luas dan penerapannya dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.

Read more ...

PERTEMUAN 9 ANALISIS KOMPLEKS (FUNGSI TRIGONOMETRI)

  

📢 Materi 9: Fungsi Trigonometri 📢

Halo Mahasiswa hebat! 👋✨

Di materi ke sembilan, kita akan belajar tentang Fungsi Trigonometri. Pastinya, kalian sudah pernah mendapatkan materi ini di pelajaran sebelumnya, jadi ini saatnya untuk memperdalam pemahaman kalian! 📚💡 Caranya:

✅ Tonton video YouTube di bawah ini karena di dalamnya terdapat penjelasan lengkap tentang materi. 🎥👀

✅ Download bahan ajar dalam format PDF yang tersedia di deskripsi video. 📄⬇️

TONTON VIDEO PERTEMUAN 9 DI SINI !

✅ Kerjakan latihan soal yang berada pada bahan ajar yang sudah di download untuk mengasah pemahaman kalian. ✍️

✅ Kumpulkan tugas harian kalian dalam format PDF atau tulis tangan juga bisa kemudian  di Scan PDF dan unggah ke link yang tersedia di bawah ini. 📤📎 dengan keterangan NAMA_TUGAS HARIAN PERTEMUAN 9 (UNTUK KEHADIRAN)

KUMPULKAN TUGAS HARIAN PERTEMUAN 9 UNTUK KEHADIRAN DI SINI !

📌 Jangan lupa! Pastikan semua tugas dikumpulkan tepat waktu. Semangat belajar dan tetap berusaha yang terbaik! 🚀🔥

Tugas Pertemuan ke SEPULUH masing-masing kerjakan dalam bentuk PPT Canva atau PPT Biasa (PDF) ya 💪📖 ! dan akan di tagih pada pertemuan yang akan datang sebagai tugas individu

TUGAS PERTEMUAN KE SEPULUH BERJUDUL "FUNGSI HIPERBOLIK"

KUMPULKAN TUGAS KE 10 TENTANG FUNGSI HIPERBOLIK DI SINI  !

PINTASAN !

KONTRAK BELAJAR ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 1 ANALISIS KOMPLEKS (Bilangan Kompleks) 

PERTEMUAN 2 ANALISIS KOMPELKS (Geometri Bilangan Kompleks)

PERTEMUAN 3 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 4 ANALSIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 5 ANALISI KOMPLEKS 

PERTEMUAN 6 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 7 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 8 ANALISIS KOMPLEKS (UJIAN TENGAH SEMESTER)

PERTEMUAN 9 ANALSISI KOMPLEKS 

PERTEMUAN 10 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 11 ANALISIS KOMPLEKS  

PERTEMUAN 12 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 13 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 14 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 15 ANALISIS KOMPLEKS 

PERTEMUAN 16 ANALISIS KOMPLEKS (UJIAN AKHIR SEMESTER)

Ada juga RPS Mata Kuliah Analisis Kompleks

RPS ANALISIS KOMPLEKS

Fungsi trigonometri adalah fungsi matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga, serta memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang seperti fisika, teknik, geometri, dan analisis matematika. Fungsi-fungsi utama dalam trigonometri meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), sekant (sec), kosekant (csc), dan kotangen (cot). Fungsi-fungsi ini awalnya didefinisikan berdasarkan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku, namun dalam konteks analisis kompleks dan matematika lanjutan, mereka didefinisikan sebagai fungsi periodik dengan nilai pada semua bilangan real dan kompleks.

Secara khusus, fungsi sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam bentuk deret tak hingga dan juga dalam bentuk fungsi eksponensial kompleks melalui rumus Euler, yaitu:

$$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$$

dengan $z$ adalah bilangan kompleks. Fungsi trigonometri ini memiliki sifat periodik dengan periode $2\pi$, yang berarti nilai fungsi akan berulang setiap interval $2\pi$ pada domainnya. Selain itu, fungsi-fungsi ini juga memiliki berbagai identitas penting seperti identitas Pythagoras $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, serta berbagai identitas sudut rangkap dan jumlah, yang sangat berguna dalam menyederhanakan ekspresi matematika dan dalam memecahkan masalah fisika dan teknik.

Dalam bidang analisis kompleks, fungsi trigonometri diperluas ke domain kompleks dan digunakan dalam memecahkan persamaan diferensial, transformasi Fourier, serta pemetaan konformal. Fungsi-fungsi ini juga berperan dalam menggambarkan gelombang, osilasi, dan fenomena periodik lainnya di alam.

Selain fungsi dasar tersebut, fungsi tangen, sekant, kosekant, dan kotangen juga memiliki peran penting sebagai fungsi turunan dan invers dari fungsi dasar, serta dalam berbagai aplikasi praktis. Misalnya, fungsi tangen sering digunakan dalam perhitungan kemiringan dan gradien, sedangkan sekant dan kosekant muncul dalam konteks pemodelan gelombang dan listrik.

Pemahaman yang kuat tentang fungsi trigonometri sangat penting untuk menguasai berbagai cabang matematika dan ilmu pengetahuan, terutama yang berhubungan dengan geometri, analisis, dan aplikasi teknik. Fungsi ini menjadi landasan penting bagi pengembangan teori matematika lanjutan dan penerapan teknologi modern.

Read more ...